Математические способности и абстрактное мышление

ффыапврат

Были ли у вас проблемы с математикой в школе или университете? Или, возможно, вы никогда не понимали, почему в вашем классе или группе никто не разбирается в ней так, как вы? Конечно, можно просто сослаться на личную заинтересованность человека, на его желание изучать математические предметы. Но всё ли объясняется именно желанием? Скорее всего, вы бы могли привести в пример одного-двух своих знакомых, которые, несмотря на своё желание, не смогли хорошо понять дисциплины, связанные с математикой. В чём же причина их неудач?

Сослаться на способности в данной дискуссии достаточно просто. Однако способности — понятие достаточно широкое, и существует несколько подходов к объяснению механизма их возникновения и развития. В данной статье я бы хотел рассказать читателю немного о разделяемой мною точке зрения по поводу математических способностей — об их зависимости от способности абстрагирования.

Что такое абстракция и абстрагирование? Формально говоря, абстрагирование — это процесс перехода от частного к общему, то есть обобщение. В свою очередь, обобщение, продукт абстрагирования, называется абстракцией. Абстрагирование позволяет как бы «взглянуть сверху» на какой-либо объект или явление, выделив ключевые закономерности. Например, наблюдая в разное время дождь, снег и грозу, мы можем обобщить их в группу «погодные явления». Или, изучая окраску предметов, можем определить для себя понятия цвета и цветовой гаммы.

Как же это связано с математикой? Давайте обратимся к воспоминаниям о начале учёбы в школе: пожалуй, все мы начинали свой путь в математику с задачек про яблоки и апельсины. Прошло совсем немного времени после этого, и вы какой-то извилистой тропой добрались до операций над дробями. Ещё пара моментов — и вы уже берёте интегралы. Но каким образом получилось так, что от совсем конкретных вещей вроде фруктов вы перешли к каким-то производным и логарифмам?

Вот здесь и проявляется процесс абстрагирования: математика, как предмет преподавания, преследует своей целью не научить решать какие-то непонятные задачки. Напротив, её истинная цель — научить вас применять весь математический инструментарий для решения реальных задач из жизни. Поскольку формулу нельзя потрогать, она фактически существует в ином, «математическом», мире, который абстрагирован от нашего «реального». Следовательно, для решения жизненных задач нам приходится абстрагироваться от нашего мира и находить эквиваленты в мире математическом. Например, площадь прямоугольного поля под запашку можно рассчитать умножением двух чисел: длины и ширины. Среднюю скорость можно измерить путём деления двух чисел: пройденного пути и затраченного времени. Наш мозг можно было бы назвать «переводчиком» на математический язык и великим «абстрактором»: получая в качестве данных вполне конкретные вещи, он может абстрагироваться от них, выделив из них только нужную информацию, применить абстрактные тождества и выдать искомый результат. Так что, считая яблоки, вы учились не столько считать, сколько познавали процесс абстрагирования от конкретики к общему.

Процесс абстрагирования можно было бы назвать «философским» двигателем прогресса. В наше время практически не существует научной области, которая бы развивалась без абстрагирования. Пожалуй, особенно глубоко с этим понятием сталкиваются программисты и инженеры вычислительных устройств. Без преувеличения, все наработки в данной области сопряжены именно с уровнями абстракции. В наши дни мы можем написать программу для компьютера, пользуясь совершенно абстрактными командами вроде «нарисуй окно с двумя кнопками» или «найди корень 27-ой степени». Но это казалось невероятным на заре становления вычислительных систем, когда программированием занимались узкие специалисты, которые имели дело, грубо говоря, с двумя вещами: ячейками памяти и устройством сложения и вычитания. Попробуйте-ка просто складывая, вычитая и перемещая значения ячеек памяти нарисовать круг! Однако благодаря абстрагированию, программисты смогли уйти от описания элементарных операций к достаточно общим действиям вроде рисования.

Но как же развивать своё абстрактное мышление? В Интернете есть невероятное количество задач различного рода и характера. Например, на анализ текста с несуществующими предметами и явлениями, на логику и умозаключения из ограниченных данных (широко известная «задача Эйнштейна»). Подавляющее большинство таких логических игр и головоломок доступно для мобильных устройств, так что, убивая время, вы можете попутно развивать свои способности к абстрагированию.

Говоря о применении абстрактного мышления в экономике, хочу отметить, что многие экономико-математические и эконометрические инструменты довольно абстрактны. Работая экономистом, вы, вполне вероятно, будете решать, как сформировать функцию издержек, как оценивать функцию спроса и совокупного предложения и многие другие важные с точки зрения экономического анализа понятия. То есть вы будете абстрагироваться от реальных денежных потоков, отдельных событий на рынке и переходить к общим экономическим и финансовым понятиям. При этом статистика и эконометрика становятся инструментом подтверждения корректности вашего результата абстрагирования.

Упомянув эконометрику, я бы хотел также отметить проблему преподавания многих связанных с математикой и статистикой дисциплин. Эконометрика, математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей, теория игр — каждая из этих дисциплин считается «страшным зверем» для изучения. Довольно часто можно заметить, что студенты просто-напросто не понимают, чем они занимаются и зачем вообще это нужно, не говоря уже об осознании структуры курса и его важности для дальнейшего обучения. Основываясь на этом, я бы хотел подчеркнуть главную причину того, почему студентам тяжело изучать математические предметы: разрыв связи между «реальным» миром и миром абстрактным, «математическим». Они не понимают, на каких данных следует применить изученный инструментарий и как использовать полученные результаты. Скорее всего, вы не поймете смысл определенного интеграла, если не установите его связь с задачей нахождения площади и объёма. Точно также вы не поймете эконометрику, если не найдёте точек соприкосновения с реальными экономическими процессами.

В конце своего изложения я бы хотел подытожить, что абстрагирование — очень важная способность в процессе познания человеком окружающей природы. Подавляющее большинство научно-технических достижений человечества (и даже достижения в области искусств) так или иначе обязаны своим получением абстрактному мышлению. Главная задача математических дисциплин заключается не в обучении механическому счёту и решению задач из учебника, а в развитии умения мыслить абстрактно и устанавливать связь между явлениями из реального мира и мира математического. Первостепенная проблема преподавания математических дисциплин в наше время состоит в том, что студентам всё меньше и меньше рассказывают о связи материала с его применением; таким образом, теряется связь между реальными вещами и абстрактными. Но для лучшего понимания подобных дисциплин вовсе не следует ограничиваться лишь соответствующим задачником: существует большое количество способов развивать свои способности к абстрагированию, которые позволят провести свободное время с пользой.

Автор: Артур Саржанов
Редакторы: Екатерина Автонова, Виталия Елисеева, Мария Гребенщикова
Оформление: Марта Ермашова 

Добавить комментарий

Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить
%d такие блоггеры, как: